Аннотация. В статье представлена система заданий по теме «Решение иррациональных уравнений», направленная на формирование критического мышления учащихся 8-9 классов. Блоки системы заданий сформированы на основе приведенного определения, признаков и характеристик критического мышления, Обоснована возможность формирования критического мышления учащихся на основе решения заданий.
Ключевые слова: критическое мышление, уравнения, корни, радикал, степень, переменная.
Одной из главных задач образования является развитие личности каждого учащегося. В современном мире помимо владения определенными знаниями, умениями и навыками человек должен уметь критически их оценивать и креативно ими пользоваться, формировать собственное мнение и уметь его обосновывать, самостоятельно активно и целенаправленно осваивать новые знания о мире и обществе, формулировать гипотезы, выдвигать идеи, а также предлагать методы их решения. Однако для того, чтобы взрослый человек обладал такими умениями, необходимо их развивать еще в младшем и среднем возрасте, в то время, когда происходит формирование его мышления в целом.
Развитие таких умений личности достигается развитием мышления, способного к гибкости и критическому усвоению новой информации. Роль школы в данном процессе значительна, так как любые навыки лучшим образом формируются в школьном возрасте. Именно поэтому в современной методической системе при обучении большое внимание уделяется 4«К» компетенциям: креативность, критическое мышление, коммуникация и кооперация.
Одну из лидирующих ролей развитии этих компетенций занимает математика, поскольку позволяет учащемуся самостоятельно формулировать задачи, решать их различными способами, сочетать различные методы и формы работы с информацией. Одной из задач при обучении математики является развитие у обучающихся умения размышлять, сопоставлять различные точки зрения, анализировать любую полученную информацию и формулировать собственную точку зрения, опираясь на полученные знания.
Рассматривая определения критического мышления в различных литературных источниках наиболее полным является определение, выделенное Н.М. Востриковой, которая под мышлением подразумевает «…активную познавательную деятельность субъекта, направленную на целенаправленное, обобщенное, опосредованное познание объективной действительности, открытие новых знаний, прогнозирование и оценку результатов деятельности в ходе решения проблем, на основе анализа и оценки информации, обоснованности суждений, достоверности знаний, при подсознательном использовании исходного минимума знаний и прошлого опыта, ориентируемого на предмет исследования с использованием рефлексии» [1, С. 259].
Основными характеристиками критического мышления являются:
- самостоятельность,
- первичность информации,
- аргументированность,
- социальная направленность,
- проблемность,
- логичность, согласованность.
Данные характеристики относятся и к другим видам мышления, однако совокупность всех перечисленных характеристик определяет именно критическое мышление.
На основе различных определений и исследований были выделены следующие признаки критического мышления:
- умение оценивать правильность полученного результата;
- умение рассматривать задачи на различные решения;
- умение находить ошибки, устранять их и выявлять причины допущенных ошибок;
- умение эффективно осуществлять отбор полезной информации, содержащейся в самой задаче, процессе решения и его результатах;
- умение объективно оценивать выдвинутые гипотезы и результаты их проверки.
Для комплексного развития критического мышления необходимо развивать все перечисленные умения, однако в школьном курсе математики встретить задания, направленные на развития таких умений достаточно непросто. В задачном материале курса математики зачастую предполагается алгоритмический способ решения задач, что не всегда способствует формированию критичности мышления учеников и применению творческой деятельности в процессе обучения. Кроме того, большое количество практического и теоретического материала, запланированного для изучения в рамках школьного курса математики, не способно развивать в полной мере все перечисленные умения.
В связи с этим появляется необходимость в создании таких заданий, которые давали бы возможность школьнику при изучении математики помимо развития логического, алгоритмического, пространственного, продуктивного и других видов мышления, развивать также критическое мышление. Для этого необходимо провести комплексную работу по методическому подбору и созданию совершенно нового логически структурированного материала. Приведем систему заданий по одной из тем школьного курса математики для 9-го класса «Решение иррациональных уравнений». Данная система заданий логически разделена на блоки, связанные с характеристиками критического мышления и содержащие задания, которые в большей мере развивают то или иное умение.
Представленная система заданий способствует комплексному развитию критического мышления благодаря логической структуре заданий, подобранных в зависимости от характеристик критического мышления. Кроме того, измененная формулировка уже представленных в различных учебниках и пособиях заданий будет этому способствовать. Таким образом, отличительной особенностью данной системы задач является то, что при сохранении всех необходимых умений, навыков и планируемых результатов, определённых примерной программой освоения курса алгебры основного общего образования, она также направлена на комплексное развитие критического мышления обучающихся.
Рассматривая курс алгебры в 7-9 классах, наиболее удачной для создания такой системы заданий является тема «Иррациональные уравнения», поскольку при ее изучении необходимо разобрать различные методы решения данных уравнений, при решении учитывать область значений уравнений, следить за равносильностью переходов и т.п. [3], [4], [5]. Необходимость выполнения таких действий формирует качества критического мышления.
Система заданий по теме «Решение иррациональных уравнений»
Блок 1. Умение объективно оценивать выдвинутые гипотезы и результаты их проверки
Задание 1 демонстрирует, что присутствие в уравнении иррациональных чисел не означает, что данное уравнение является иррациональным. Данное задание способствует сравнительной оценке обучающегося различных определений школьного курса алгебры: иррациональные числа, иррациональные уравнения, линейные уравнения. Также формулировка данного задания предоставляет учащимся возможность самостоятельно определить вид уравнения и выбрать способ решения. Последние пункты подразумевают также использование свойств арифметического квадратного корня и операции избавления от иррациональности в знаменателе.
Задание 2 предоставляет учащимся самостоятельно предположить, есть корни в данных уравнениях, найти их количество или же доказать, что их нет. Для решения данных заданий учащемся необходимо вспомнить определение арифметического квадратного корня, а также воспользоваться методом возведения в квадрат обоих частей уравнения.
Блок 2. Умение оценивать правильность полученного результата
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ укажите произведение корней.
Задания 3, 4, 5 сформулированы таким образом, чтобы обратить внимание учащегося на получившиеся в ходе решения корни и последующие действия с ними. При решении у учащегося получается два корня, но один из них не соответствует области ограничения данного уравнения, поэтому корень будет единственен. Оценивание обучающимся правильности полученного результата формируется в анализе и соотнесении формулировки задания и полученного результата.
Блок 3. Умение эффективно осуществлять отбор полезной информации, содержащейся в самой задаче, процессе решения и его результатах
При решении уравнений задания 6 обучающимся необходимо рассмотреть каждое из данных уравнений как произведение множителей и воспользоваться законом, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Такое рассуждение сводит решение данного уравнения к решению неполного квадратного уравнения и иррационального.
Во втором уравнении решение будет аналогичным, но перед этим необходимо воспользоваться распределительным свойством умножения и вынести общий множитель за скобки. Усложняется данное задание необходимостью воспользоваться методом возведения в квадрат обеих частей уравнения, затем решением квадратного уравнения.
В задании 7 необходимо рассмотреть область ограничений, которая состоит из одного элемента, которое и будет решением уравнения.
Блок 4. Умение находить ошибки, устранять их и выявлять причины допущенных ошибок
Задание 8. Приведено решение ученика (см. рисунок 1). Найдите и объясните ошибки в решении. Исправьте ошибки и доведите решение до верного ответа.
Рис.1. Решение ученика
Задание 8 подразумевает самостоятельную работу каждого ученика с приведенным решением с целью нахождения в нем ошибок. Данная деятельность способствует развитию внимательности, умению находить собственные ошибки в решениях. Кроме того, рассматривая и анализируя ошибки, а затем приводя правильное решение обучающиеся, вероятно, их запомнят и не повторят при решении последующих заданий. Особенностью приведенных заданий является то, что некоторые полученные ответы при подстановке превращают уравнение в верное равенство, что способствует аналитической деятельности учащихся.
Решение задания 8:
Ошибка заключается в том, что при извлечении квадратного корня из выражения, содержавшего переменную в квадрате, ученик не указал модуль. В результате чего был потерян корень.
Верное решение:
Блок 5. Умение решать задачи различными способами.
Рассматривая и анализируя данную систему упражнений по теме «Иррациональные уравнения», можно отметить, что в целях совершенствования преподавания математики целесообразна дальнейшая разработка такой структуры упражнений по различным темам школьного курса математики для наилучшего развития критического мышления обучающихся. Внедрение таких систем заданий по различным темам школьного курса математики способствует развитию необходимых характеристик критического мышления, которые необходимы каждому человеку не только в школе, но и в повседневной жизни.
Литература:
- Вострикова Н.М. О современном понимании и развитии понятия «мышление» в психолого-педагогической литературе // Сибирский педагогический журнал, 2012. №5. С. 255-259 (дата обращения: 09.12.2022).
- Клустер Д. Что такое критическое мышление? (дата обращения: 09.12.2022).
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса / Под ред. Г.В. Дорофеева. М.: Просвещение, 1997. 24 с.
- Макарычев Ю.Н. Алгебра. 9 класс: учебник для общеобразовательных организаций / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под ред. С.А. Теляковского. 21-е изд. Москва: Просвещение, 2022. 287 с.
- Макарычев Ю.Н. Алгебра. 8 класс: учебник для общеобразовательных организаций с приложением на электрон. носителе / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под ред. С.А. Теляковского. М.: Просвещение, 2022. 287 с.
- Пинская М.А., Михайлова А.М. Компетенции «4К»: формирование и оценка на уроке. Практические рекомендации: М.: Корпорация «Российский учебник», 2019. 76 с.
- Семеняченко Ю.А. Математические задачи как средство развития качеств продуктивного мышления студентов (на примере обучения дисциплине «математический анализ»): специальность 13.00.02 «Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)»: автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук / Семеняченко Юлия Александровна. М.: 2006. 26 с.
- Фостер К.К. Вводные вопросы для активизации критического мышления // Перемена, 2004. №4. С. 38-43.
I think, so I exist: techniques for the development of critical thinking
Antonova M.S.,
bachelor of 4 course of the Moscow City University, Moscow
Research supervisor:
Semenyachenko Julia Alexandrovna,
Deputy Director of the Institute of Digital Education of the Moscow City University, Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor
Annotation. The article presents a system of tasks on the topic «Solving irrational equations», aimed at the formation of critical thinking of students in grades 8-9. The blocks of the task system are formed on the basis of the above definition, signs and characteristics of critical thinking, the possibility of forming students' critical thinking based on solving tasks is substantiated.
Keywords: critical thinking, equations, roots, radical, degree, variable.
Literature:
- Vostrikova N.M. On the modern understanding and development of the concept of «thinking» in psychological and pedagogical literature // Siberian Pedagogical Journal. 2012 №5. Page: 255-259 (date of the address: 09.12.2022).
- Kluster D. What is critical thinking? (date of the address: 09.12.2022).
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. Algebra: Additional chapters to the school textbook of the 9th grade / Ed. G.V. Dorofeeva. M.: Enlightenment, 1997. 24 pages.
- Makarychev J.N. Algebra. Grade 9: textbook for general education organizations / J.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; edited by S.A. Telyakovsky. 21st ed. Moscow: Enlightenment, 2022. 287 pages.
- Makarychev Yu.N. Algebra. Grade 8: a textbook for general educational organizations with an application to an electron. Carrier / J.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; edited by S.A. Telyakovsky. Moscow: Prosveshchenie, 2022. 287 pages.
- Pinskaya M.A., Mikhailova A.M. Competence «4K»: formation and evaluation in the classroom. Practical recommendations. Moscow: Corporation «Russian textbook», 2019. 76 pages.
- Semenyachenko Yu.A. Mathematical problems as a means of developing the qualities of productive thinking of students (on the example of teaching the discipline «mathematical analysis»): specialty 13.00.02 «Theory and methodology of teaching and upbringing (by fields and levels of education)»: abstract of the dissertation for the degree of Candidate of Pedagogical Sciences / Semenyachenko Yulia Aleksandrovna. Moscow, 2006. 26 pages.
- Foster K.K. Introductory questions for activating critical thinking // Change. 2004. №4. Page: 38-43.