Аннотация. В данной статье рассматривается возможность применения дифференциального исчисления функции одного переменного при решении стереометрических задач по теме «Тела вращения». Авторами предложены и решены 6 задач с методическими рекомендациями к их применению.

Ключевые слова: дифференциальное исчисление функции одного переменного, производная, алгебра и начала математического анализа, стереометрические задачи, тела вращения.

Дифференциальное исчисления функции одного переменного безусловно находит свое применение в самых разнообразных областях науки, таких как физика, экономика, геометрия и пр. К сожалению, в школьном курсе стереометрии, по различным причинам, не уделяется должного внимания задачам, требующим применения производной при их решении. Тем не менее внедрение в курс стереометрии задач такого рода позволит:

  • укрепить межпредметные связи между курсами «Стереометрия 10-11» и «Алгебра и начала математического анализа 10-11»;
  • показать применение дифференциального исчисления функции одного переменного при решении стереометрических задач;
  • показать применение дифференциального исчисления функции одного переменного при решении задач на оптимизацию;
  • показать, что применение дифференциального исчисления функции одного переменного значительно упрощает процесс решения некоторых стереометрических задач;
  • повысить уровень подготовки обучающихся к сдаче Единого Государственного Экзамена (ЕГЭ) по профильной математике.

Отметим также, что в предложенных ниже задачах от обучающихся не требуется глубоких знаний по теме «Производная функции». В них достаточно знать и уметь применять правило дифференцирования суммы или разности функций и находить производную степенной функции. То есть эти задачи именно геометрические, на определенном этапе решения которых необходимо применить знания, полученные в курсе «Алгебра и начала математического анализа».

Приведем пример схемы решения задач на оптимизацию:

  1. Выявить из условия задачи и обозначить оптимизируемую величину, которая станет функцией (О.В. – ƒ(x)).
  2. Ввести независимую переменную x, обозначив за нее некоторое неизвестное, от которого зависит оптимизируемая величина.
  3. Найти границы числового промежутка, внутри которого может изменяться введенная независимая переменная.
  4. Выразить все неизвестные величины, необходимые для составления функции, через независимую переменную x и числовые данные задачи; подставить их в аналитическое выражение функции.
  5. Определить, как нужно оптимизировать полученную функцию, на каком множестве это нужно сделать.
  6. По алгоритму нахождения наибольшего или наименьшего значений функции найти это значение.

Перейдем к рассмотрению конкретных задач. Задачи 1-2 имеют ярко выраженный вычислительный характер, в отличие от задач 3-6, которые предлагаются для решения в общем виде.

На начальном этапе внедрения задач такого рода наиболее целесообразно решать с классом задачи, аналогичные задачам 1-2, поскольку оперировать числовыми значениями в контексте задачи несколько проще, нежели решать задачу в общем виде.

Далее перейдем к рассмотрению задач в общем виде, которые, быть может, вызовут некоторые затруднения у обучающихся в следствии отсутствия числовых значений.

Вывод. Таким образом, внедрение задач, требующих применения дифференциального исчисления функции одного переменного, является хорошим инструментом для активизации познавательного интереса, поскольку, во-первых, такие задачи являются в некотором роде исследовательскими, так как при их решении у обучающихся возникает необходимость устанавливать взаимосвязи между различными геометрическими телами и, во-вторых, данные задачи можно легко встроить в процесс обучения стереометрии, так как фактически обучающиеся решают геометрическую задачу, на некотором этапе решения которой нужно составить математическую модель и исследовать ее.

Литература:

  1. Корешкова Т.А., Семеняченко Ю.А. Математический анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной: учебно-методическое пособие для самостоятельной работы студентов педагогических вузов. М.: МГПУ, 2011. 164 с.
  2. Сборник задач по математике для поступающих в вузы / В.К. Егерев, В.В. Зайцев, Б.А. Кордемский и др.; под ред. М.И. Сканави. 6-е изд. М.: Мир и Образование, 2019. 608 с.
  3. Улимаева А.Т. Роль и место задач на оптимизацию в обучении математике: Дисс. … канд. пед. наук: 18.00.02. / А.Т. Улимаева. Москва, 1977. 272 с.

Application of differential calculus of function of one variable in solving problems of the school course of stereometry

Savvateev D.A.,
bachelor of 3 course of the Moscow City University, Moscow

Coauthor:
Mashenina E.D.,
bachelor of 3 course of the Moscow City University, Moscow

Annotation. This article discusses the possibility of using the differential calculus of a function of one variable in solving stereometric problems on the topic «Bodies of rotation». The authors proposed and solved 6 tasks with methodological recommendations for their application.
Keywords: differential calculus of a function of one variable, derivative, algebra and the beginning of mathematical analysis, stereometric problems, bodies of rotation.

Literature:

  1. Koreshkova T.A., Semenyachenko Yu.A. Mathematical analysis. Differential and integral calculus of a function of one variable: an educational and methodical manual for independent work of students of pedagogical universities. Moscow: MSPU, 2011. 164 pages.
  2. Collection of problems in mathematics for university applicants / V.K. Egerev, V.V. Zaitsev, B.A. Kordemsky, etc.; Edited by M.I. Skanavi. 6th ed. Moscow: World and Education, 2019. 608 pages.
  3. Ulimaeva A.T. The role and place of optimization tasks in teaching mathematics: dissertation for the degree of Candidate of Pedagogical Sciences: 18.00.02. / A.T. Ulimaeva. Moscow, 1977. 272 pages.