Аннотация. В данной статье рассматривается возможность применения дифференциального исчисления функции одного переменного при решении стереометрических задач по теме «Тела вращения». Авторами предложены и решены 6 задач с методическими рекомендациями к их применению.
Ключевые слова: дифференциальное исчисление функции одного переменного, производная, алгебра и начала математического анализа, стереометрические задачи, тела вращения.
Дифференциальное исчисления функции одного переменного безусловно находит свое применение в самых разнообразных областях науки, таких как физика, экономика, геометрия и пр. К сожалению, в школьном курсе стереометрии, по различным причинам, не уделяется должного внимания задачам, требующим применения производной при их решении. Тем не менее внедрение в курс стереометрии задач такого рода позволит:
- укрепить межпредметные связи между курсами «Стереометрия 10-11» и «Алгебра и начала математического анализа 10-11»;
- показать применение дифференциального исчисления функции одного переменного при решении стереометрических задач;
- показать применение дифференциального исчисления функции одного переменного при решении задач на оптимизацию;
- показать, что применение дифференциального исчисления функции одного переменного значительно упрощает процесс решения некоторых стереометрических задач;
- повысить уровень подготовки обучающихся к сдаче Единого Государственного Экзамена (ЕГЭ) по профильной математике.
Отметим также, что в предложенных ниже задачах от обучающихся не требуется глубоких знаний по теме «Производная функции». В них достаточно знать и уметь применять правило дифференцирования суммы или разности функций и находить производную степенной функции. То есть эти задачи именно геометрические, на определенном этапе решения которых необходимо применить знания, полученные в курсе «Алгебра и начала математического анализа».
Приведем пример схемы решения задач на оптимизацию:
- Выявить из условия задачи и обозначить оптимизируемую величину, которая станет функцией (О.В. – ƒ(x)).
- Ввести независимую переменную x, обозначив за нее некоторое неизвестное, от которого зависит оптимизируемая величина.
- Найти границы числового промежутка, внутри которого может изменяться введенная независимая переменная.
- Выразить все неизвестные величины, необходимые для составления функции, через независимую переменную x и числовые данные задачи; подставить их в аналитическое выражение функции.
- Определить, как нужно оптимизировать полученную функцию, на каком множестве это нужно сделать.
- По алгоритму нахождения наибольшего или наименьшего значений функции найти это значение.
Перейдем к рассмотрению конкретных задач. Задачи 1-2 имеют ярко выраженный вычислительный характер, в отличие от задач 3-6, которые предлагаются для решения в общем виде.
На начальном этапе внедрения задач такого рода наиболее целесообразно решать с классом задачи, аналогичные задачам 1-2, поскольку оперировать числовыми значениями в контексте задачи несколько проще, нежели решать задачу в общем виде.
Далее перейдем к рассмотрению задач в общем виде, которые, быть может, вызовут некоторые затруднения у обучающихся в следствии отсутствия числовых значений.
Вывод. Таким образом, внедрение задач, требующих применения дифференциального исчисления функции одного переменного, является хорошим инструментом для активизации познавательного интереса, поскольку, во-первых, такие задачи являются в некотором роде исследовательскими, так как при их решении у обучающихся возникает необходимость устанавливать взаимосвязи между различными геометрическими телами и, во-вторых, данные задачи можно легко встроить в процесс обучения стереометрии, так как фактически обучающиеся решают геометрическую задачу, на некотором этапе решения которой нужно составить математическую модель и исследовать ее.
Литература:
- Корешкова Т.А., Семеняченко Ю.А. Математический анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной: учебно-методическое пособие для самостоятельной работы студентов педагогических вузов. М.: МГПУ, 2011. 164 с.
- Сборник задач по математике для поступающих в вузы / В.К. Егерев, В.В. Зайцев, Б.А. Кордемский и др.; под ред. М.И. Сканави. 6-е изд. М.: Мир и Образование, 2019. 608 с.
- Улимаева А.Т. Роль и место задач на оптимизацию в обучении математике: Дисс. … канд. пед. наук: 18.00.02. / А.Т. Улимаева. Москва, 1977. 272 с.
Application of differential calculus of function of one variable in solving problems of the school course of stereometry
Savvateev D.A.,
bachelor of 3 course of the Moscow City University, Moscow
Coauthor:
Mashenina E.D.,
bachelor of 3 course of the Moscow City University, Moscow
Annotation. This article discusses the possibility of using the differential calculus of a function of one variable in solving stereometric problems on the topic «Bodies of rotation». The authors proposed and solved 6 tasks with methodological recommendations for their application.
Keywords: differential calculus of a function of one variable, derivative, algebra and the beginning of mathematical analysis, stereometric problems, bodies of rotation.
Literature:
- Koreshkova T.A., Semenyachenko Yu.A. Mathematical analysis. Differential and integral calculus of a function of one variable: an educational and methodical manual for independent work of students of pedagogical universities. Moscow: MSPU, 2011. 164 pages.
- Collection of problems in mathematics for university applicants / V.K. Egerev, V.V. Zaitsev, B.A. Kordemsky, etc.; Edited by M.I. Skanavi. 6th ed. Moscow: World and Education, 2019. 608 pages.
- Ulimaeva A.T. The role and place of optimization tasks in teaching mathematics: dissertation for the degree of Candidate of Pedagogical Sciences: 18.00.02. / A.T. Ulimaeva. Moscow, 1977. 272 pages.