Аннотация. Данная статья посвящена вопросу выработки у обучающихся навыка самостоятельного конструирования задач в рамках школьного курса математики. В работе приведена классификация некоторых типов упражнений, направленных на конструирование задач обучающимися, проиллюстрированных конкретными примерами.
Ключевые слова: универсальные учебные действия, конструирование задач, этапы конструирования задач, классификация приемов конструирования задач.
Одной из задач, которую ФГОС ставит перед школой сегодня, является развитие у обучающихся универсальных учебных действий, таких как практическое освоение основ проектно-исследовательской деятельности, выделение главной и избыточной информации, выполнение обобщения и систематизации выделенных фактов, мыслей; представление информации в сжатой словесной форме (в виде плана или тезисов) и в наглядно-символической форме (в виде таблиц, графических схем и диаграмм).
Современная школа должна выпустить не только ученика, который обладает базовыми навыками решения задач и построения доказательств, но и творческую личность, способную к самостоятельной постановке задачи и ее последующему решению. Тем не менее, с нашей точки зрения, традиционное содержание курса математики не дает возможности реализовать в полной мере вышеперечисленные умения и навыки.
Одним из путей решения этой проблемы является интеграция в процесс обучения математике особого типа упражнений, нацененного на выработку умения самостоятельного конструирования и последующего решения задач.
Таким образом, актуальность данной работы состоит в потребности включения в школьный курс математики упражнений на составление задач при нехватке достаточного методического обеспечения по данному направлению.
Проанализировав методическую литературу, авторы предлагают следующую схему конструирования задач:
- Выявление ситуации, приводящей к возникновению математической задачи.
- Составление первичной модели задачи и введение числовых данных. Иллюстрация условия задачи с помощью рисунка, чертежа, графика, схемы и т.д.
- Анализ условия задачи с выделением теории и законов, которые описывают данную ситуацию.
- Дополнение условия задачи недостающими данными или избавление от излишних (при необходимости).
- Формулировка условия и вопроса задачи, запись на языке, соответствующем предметной области задачи.
- Решение задачи.
- Исследование задачи и ее окончательная редакция.
Заметим, что каждый этап составления задачи формирует различные универсальные учебные действия:
- На первом этапе формируются умения самостоятельно выбирать основания и критерии для классификации, устанавливать причинно-следственные связи, строить логические рассуждения.
- На втором этапе формируются умения выделять главную и избыточную информацию, выполнять обобщение и систематизацию выделенных фактов, определять понятия, создавать обобщения, устанавливать аналогии, классифицировать, самостоятельно выбирать основания и критерии для классификации.
- На третьем и четвертом этапах формируются умения систематизировать, сопоставлять, анализировать, обобщать и интерпретировать информацию.
- На пятом этапе формируется умение оперировать математическим языком.
- На шестом и седьмом этапах формируются умения оценивать правильность выполнения учебной задачи, собственные возможности ее решения.
В процессе выработки навыка самостоятельного конструирования задач важно постепенно увеличивать сложность упражнений во избежание ослабления мотивации школьников к данной деятельности. В связи с чем возникает потребность в классификации упражнений, направленных на выработку умения конструирования задач.
Авторы предлагают следующую «условную» классификацию приемов конструирования задач:
I. Составление задачи по известному алгоритму
Наиболее ярким примером данного типа задач являются задачи на применение теоремы Виета: обучающимся предлагается составить квадратное уравнение, корни которого известны.
Обучающимся известен алгоритм составления квадратного уравнения по его корням:
- Найти сумму корней уравнения.
- Найти произведение корней уравнения.
- Записать приведенное квадратное уравнение, коэффициент при неизвестном в первой степени которого равен сумме корней, взятых с противоположным знаком, а свободный член – произведению корней.
Упражнение 1. Составить квадратное уравнение, корни которого равны 2 и 3.
Составим квадратное уравнение по вышеприведенному алгоритму:
После составления квадратного уравнения необходимо выполнить проверку, поскольку обучающиеся могли допустить ошибку при составлении уравнения.
Данный тип упражнений служит для обучающихся начальной мотивацией составления собственных задач, поскольку не требует серьезных творческих и аналитических умений, но, тем не менее, является «стартовой площадкой» для развития навыка самостоятельного конструирования задач.
II. Составление задачи, аналогичной данной
На втором этапе освоения навыка самостоятельного конструирования задач наиболее целесообразно предложить обучающимся составить задачу, аналогичную данной, с изменением в ней числовых величин и/или сюжетной линии задачи. Приведем пример такого упражнения.
Упражнение 2. Обучающимся предлагается решить задачу:
Задача 1. Два лыжника стартовали из одной точки круговой трассы, длина которой равна 2 км. Скорость первого лыжника 10 км/ч, а скорость второго – 13 км/ч. Через сколько минут второй лыжник опередит первого ровно на 1 круг?
После решения задачи учитель предлагает изменить в исходной задаче сначала сюжет, а затем числовые величины. Причем учитель должен обратить внимание учеников на смысл составленной ими задачи, ведь, например, ученики могут составить не соответствующую условиям действительности задачу:
Задача 2. Две улитки ползут из одной точки вокруг ствола дерева, длина которого равна 1 км. Скорость первой улитки 2 км/ч, а скорость второй – 3,5 км/ч. Через сколько минут вторая улитка опередит первую ровно на 1 оборот вокруг ствола дерева?
С математической точки зрения задача составлена верно, однако учащиеся, перенося ее на жизненный опыт, понимают, что предложенная ими задача является некорректной: можно заметить, что в данной задаче сразу же несколько условий не выполняются в реальной жизни (длина ствола дерева не может быть равной 1 км, а максимальная зафиксированная скорость улитки равна 48 м/ч).
Приведем примеры задач, которые могут сформулировать ученики:
Задача 3. Два лыжника стартовали из одной точки круговой трассы, длина которой равна 2,5 км. Скорость первого лыжника 11 км/ч, а скорость второго – 15 км/ч. Через сколько минут второй лыжник опередит первого ровно на 1 круг?
Задача 4. Два бегуна по сигналу тренера стартовали из одной точки круговой трассы, длина которой равна 2 км. Скорость первого бегуна 13 км/ч, а скорость второго – 10 км/ч. Через сколько минут первый бегун опередит второго ровно на 1 круг?
Задача 5. Два велосипедиста стартовали из одной точки круговой трассы, длина которой равна 15 км. Скорость первого лыжника 55 км/ч, а скорость второго – 45 км/ч. Через сколько минут первый лыжник опередит второго ровно на 1 круг?
В первой задаче ученики составили задачу, аналогичную данной, с изменением в ней числовых величин, во второй задаче – с изменением ее сюжетной линии, а в третьей – скомпилировали оба этих действия.
III. Составление задачи по таблице или схеме
Обучающимся предлагается рассмотреть данные таблицы 1:
Таблица 1. Данные для составления задач
|
|
Объем раствора |
Концентрация |
Объем соли |
|
I |
8 л |
15% |
1,2 |
|
II |
12 л |
25% |
3 |
|
I+II |
20 л |
16% |
3,2 |
Упражнение 3. По данным таблицы 1 составить задачу.
Задачи могут иметь следующий вид:
Задача 6. Смешали 8 литров 15%-го водного раствора соли с 12 литрами 25%-го водного раствора соли. Вычислить концентрацию соли в полученном растворе.
Задача 7. Из 20 литров 16%-го раствора соли, полученного при смешении двух растворов, 8 литров приходится на 15%-й раствор этой соли. Определить объем соли, содержащийся во втором растворе.
Представленные ученикам таблицы или схемы могут отражать данные различных опытов и экспериментов, проводящихся для различных целей в некоторых научных областях. Составление задач данного типа также способствует достижению метапредметных результатов и более того, обучающимся всегда интереснее работать с конкретными данными, чем с абстрактными величинами, что, несомненно, повышает мотивацию.
IV. Составление задачи с добавлением условий
На четвертом этапе учащиеся уже достаточно подготовлены к более творческому и, вместе с тем, сложному процессу конструирования задач.
Ранее обучающиеся составляли задачи по некоторому шаблону, благодаря чему у них появилась достаточная мотивация и развился навык конструирования задач, так что теперь они готовы составлять собственные задачи.
Однако следует «дать отправную точку», некоторое начальное условие (базу), поскольку к полноценному конструированию задач «с нуля» школьники еще недостаточно подготовлены. Например, предложим ученикам следующую геометрическую конструкцию:
Упражнение 4. Добавить недостающее условие и решить задачу:
Дан треугольник, одна из сторон которого равна 8. Вычислить его площадь.
Ученикам с различными уровнями подготовки по предмету можно предложить добавить разное количество условий к данной задаче (одно, два или три) и решить ее, что способствует реализации принципа индивидуализации обучения.
- Добавить одно условие.
- Добавить два условия.
- Добавить три условия.
Приведем примеры задач, которые могут составить учащиеся, исходя из начальных данных задачи:
С добавлением одного условия:
Задача 8. Найти площадь треугольника, высота которого равна 5, а сторона, к которой она проведена, равна 8.
Задача 9. Высота треугольника в два раза меньше его основания. Вычислить площадь треугольника, если его основание равно 8.
Задача 10. Найти площадь равностороннего треугольника, сторона которого равна 8.
При добавлении одного условия стоит обратить особое внимание обучающихся на то, чтобы данных хватило для решения задачи. Рассмотрим задачу:
Задача 11. В равнобедренном треугольнике основание равно 8. Найти его площадь.
В данной задаче условие равнобедренности треугольника является недостаточным для ее решения.
С добавлением двух условий:
Задача 12. Найти площадь прямоугольного треугольника, катеты которого равны 8 и 7.
Задача 13. Найти площадь равнобедренного треугольника, основание которого равно 8, а периметр равен 42.
С добавлением трех условий:
Задача 14. Определить площадь прямоугольного треугольника, вписанного в окружность диаметра 8, если один из острых углов треугольника равен 30°.
При добавлении двух и более условий стоит обратить внимание обучающихся на отсутствие в задаче избыточных данных. Рассмотрим задачу:
Задача 15. Периметр равностороннего треугольника равен 24. Найти его площадь, если его сторона равна 8.
В данной задаче условие о периметре треугольника является избыточным.
V. Составление задачи по известной модели
Пройдя первые четыре этапа, обучающиеся уже достаточно подготовлены к практически полностью самостоятельному процессу конструирования задач, имея только лишь абстрактную математическую модель. Конструирование задач по известной модели является достаточно сложным и творческим процессом, что способствует повышению мотивации обучающихся к данной деятельности.
В качестве модели для составления задачи можно предложить, например, дробно-рациональное уравнение.
Упражнение 5. На основе дробно-рационального уравнения составить задачу.
Приведем примеры задач, которые может составить обучающийся, имея представленную математическую модель:
Задача 16. От посёлка до речки 60 км. Утром турист на скутере отправился на речку. Вечером он возвратился в посёлок, но при этом ехал со скоростью на 10 км/ч меньшей и потратил на дорогу на 18 мин больше. Сколько времени ехал турист от речки к посёлку?
Задача 17. За некоторое время первый мастер изготавливает 60 деталей, а второй это же количество деталей изготавливает на 0,3 часа быстрее. За сколько часов первый мастер изготовит 60 деталей, если за 1 час он изготавливает на 10 деталей меньше, чем второй.
При составлении задач учащиеся должны применять опыт, полученный ранее: соответствие условий задачи действительности, достаточное, но и не избыточное количество условий и т.д.
VI. Самостоятельное составление задачи
После прохождения предыдущих этапов учащиеся подготовлены к самостоятельному составлению задачи. На конкретном примере продемонстрируем процесс конструирования задачи согласно этапам, представленным в начале данной работы:
- Выявление ситуации, приводящей к возникновению математической задачи.
- Картографам для составления карты некоторой местности необходимо измерить расстояние между двумя берегами водоема. Однако данное расстояние невозможно измерить имеющимися у них измерительными приборами.
- Составление первичной модели задачи и введение числовых данных. Иллюстрация условия задачи с помощью рисунка, чертежа, графика, схемы и т.д.
Схематично изобразим возникшую ситуацию (рис. 1).
Рис. 1. Пример иллюстрации условия задачи
Введем числовые данные: АС = 300 м, ВС+ 400 м, ∠С = 60º
- Анализ условия задачи с выделением теории и законов, которые описывают данную ситуацию.
В данной задаче для нахождения расстояния между точками и будет использована теорема косинусов.
- Дополнение условия задачи недостающими данными или избавление от излишних (при необходимости).
Лишних или недостающих условий нет.
- Формулировка условия и вопроса задачи, запись на языке, соответствующем предметной области задачи.
Условие задачи: Расстояние от точки А, расположенной на одном берегу озера, до произвольно выбранной на местности точки С составляет 300 м, а расстояние от точки В, расположенной на другом берегу озера, до точки С составляет 400 м, причем точки А и В видны из точки С под углом 60º.
Вопрос задачи: Каково расстояние между точками А и В?
- Решение задачи.
Применим к треугольнику теорему косинусов:
- Исследование задачи и ее окончательная редакция.
В ходе решения задачи были получены соответствующие действительности результаты. Задача составлена и решена корректно.
Выводы
Таким образом, систематическое и последовательное применение в процессе обучения математике упражнений, направленных на выработку умения самостоятельного конструирования задач, способствует развитию у обучающихся творческих навыков, познавательной активности и мотивации к научно-исследовательской деятельности. Но при внедрении в процесс обучения задач такого рода учителю следует понимать, что такие задачи в силу их новизны составляют некоторую трудность для обучающихся, и постепенно увеличивать их сложность: от составления задач по аналогии и алгоритму до самостоятельного конструирования задач.
Литература:
- Биянова Е.Б. Педагогические условия организации исследовательской деятельности учащихся основной школы: автореф. дис. канд. пед. наук: 13.00.02 / Е.Б. Биянова; Глазов. гос. пед. ун-т. Ижевск, 2011. 23 с.
- Куприянова М.А. Составление математических задач как инструмент развития универсальных учебных действий на уроках математики основной школы. / Известия Российского государственного педагогического университета им. А. И. Герцена, выпуск 151, 2012. С. 207-211.
- Хаустова В.Н. Формирование компетенций учащихся через решение задач. // В.Н. Хаустова, Н.А. Гладкова, М.А. Полякова / Педагогика сегодня: проблемы и решения: материалы II Междунар. науч. конф. (г. Самара, сентябрь 2017 г.). Самара: Вектор, 2017. С. 14-15.
- Шоркина Л.В. Конструирование математических задач как средство творческого развития исследовательских способностей учащихся: автореф. дис. канд. пед. наук: 13.00.02 / Л.В. Шоркина; Орел, 2007. 18 с.
On the importance of developing the skill of constructing problems in the framework of a school mathematics course
Moshenina E.D.,
bachelor of 3 course of the Moscow City University, Moscow
Coauthor:
Savvateev D.A.,
bachelor of 3 course of the Moscow City University, Moscow
Research supervisor:
Zaharova Tatiana Alekseevna,
Assistant of the Department of Mathematics and Physics of the Institute of Digital Education of the Moscow State Pedagogical University, Moscow
Annotation. This article is devoted to the issue of developing students' skills of self-designing tasks within the framework of a school mathematics course. The paper provides a classification of some types of exercises aimed at constructing tasks by students, illustrated with specific examples.
Keywords. Universal learning activities, task design, stages of task design, classification of task design techniques.
Literature:
- Biyanova E.B. Pedagogical conditions for the organization of research activities of primary school students: dis. candidate of pedagogical Sciences: 13.00.02 / E.B. Biyanova; Glazov State Pedagogical University. Izhevsk, 2011. 23 pages.
- Kupriyanova M.A. Composing mathematical problems as a tool for the development of universal educational actions in the mathematics lessons of primary school. / Proceedings of the A. I. Herzen Russian State Pedagogical University, issue 151, 2012. Page: 207-211.
- Khaustova V.N. Formation of students' competencies through problem solving. // V.N. Khaustova, N.A. Gladkova, M.A. Polyakova / Pedagogy today: problems and solutions: materials of the II International Scientific Conference (Samara, September 2017). Samara: Vector, 2017. Page: 14-15.
- Shorkina L.V. Constructing mathematical problems as a means of creative development of students' research abilities: abstract. dis. candidate of pedagogical Sciences: 13.00.02 / L.V. Shorkina; Eagle, 2007. 19 pages.